Question

如圖，AB為⊙O的直徑過點(diǎn)B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)D，若AB=BC=2，則CD的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：證明△CED∽△CBE，利用弦切角的知識證明CE²=CD•CB，在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的長，利用CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的長．

解答： 解：連接BE．
∵BC為⊙O的切線∴∠ABC=90°
∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=90°                  
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO       
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CBE，
∴CE²=CD•CB       
∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1        
（

5

-1）²=2CD，∴CD=3-

5

．
故答案為：3-

5

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知識點(diǎn)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．