Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，試判斷函數(shù)單調(diào)性，并求使不等式f（x²+x）+f（t-2x）＞0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，設(shè)g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值為-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)便有f（0）=0，從而可以求出k=0；
（2）先得出f（x）=a^x-a^-x，根據(jù)f（1）＞0便可得出a＞1，從而判斷出f（x）為增函數(shù)，從而由原不等式可得x²-x+t＞0恒成立，這便有△=1-4t＜0，這樣便可得出t的取值范圍；
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$便可求出a=2，從而可以得到g（x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，可設(shè)t=f（x）=2^x-2^-x$（t≥\frac{3}{2}）$，可令h（t）=（t-m）²+2-m²，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=m，討論m：$m≥\frac{3}{2}$時(shí)，t=m時(shí)，h（t）取到最小值2-m²=-1，這樣便可求出m=$\sqrt{3}$；m$＜\frac{3}{2}$時(shí)，t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）取到最小值$\frac{17}{4}-3m=-1$，得到m=$\frac{7}{4}$，不滿足m$＜\frac{3}{2}$，從而便得到m的值只有一個(gè)為$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
∴k=0；
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）；
由f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$；
∴a＞1；
∴a^x單調(diào)遞增，a^-x單調(diào)遞減；
故f（x）在R上單調(diào)遞增；
∵f（-x）=-f（x）；
∴不等式化為f（x²+x）＞f（2x-t）；
∴x²+x＞2x-t；
∴x²-x+t＞0恒成立；
∴△=1-4t＜0；
∴t的取值范圍為$\{t|t＞\frac{1}{4}\}$；
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$；
即2a²-3a-2=0；
∴a=2，或a=$-\frac{1}{2}$（舍去）；
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2；
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（2）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)；
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$；
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$）
①若m≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-1，∴m=$±\sqrt{3}$，∴m=$\sqrt{3}$；
②若m＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-1，解得m=$\frac{7}{4}＞\frac{3}{2}$，舍去；
綜上可知m=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)的定義，一元二次不等式恒成立時(shí)，判別式△的取值情況，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求二次函數(shù)的最值．