Question

（2013•棗莊二模）已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為

4+π2

，則函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

在區(qū)間[0，5π）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由條件求得φ和ω的值，可得函數(shù)f（x）=-cosx，令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，由此求得 x 的解析式，再由x∈[0，5π），求得g（x）在區(qū)間[0，5π）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）為偶函數(shù)，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函數(shù)f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期為

2π

ω

，最大值為1．
設(shè)圖象上最高點(diǎn)為（x₁，1），與之相鄰的最低點(diǎn)為（x₂，-1），則|x₂-x₁|=

T

2

=

π

ω

．
∵其圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為

4+π2

=

( π ω )2+22

，解得ω=1，
∴函數(shù)f（x）=-cosx．
令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，∴x=2kπ+

2π

3

，或 x=2kπ+

4π

3

，k∈z．
再由x∈[0，5π），可得 x=

π

3

、

2π

3

、

8π

3

、

10π

3

、

14π

3

，故函數(shù)g（x）的零點(diǎn)有5個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，求函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．