Question

20．已知函數(shù)f（x）=x（m+e^-x），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，e^-2）
• B． （e^-2，+∞）
• C． （0，e²）
• D． （e²，+∞）

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化條件為函數(shù)有兩個(gè)極值，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)為0，推出m的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化求解m的范圍即可．

解答 解：曲線y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直，等價(jià)于函數(shù)f（x）由兩個(gè)不同極值，即f′（x）=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，令f′（x）=m+e^-x-xe^-x=0，可得m=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，則條件轉(zhuǎn)化為直線y=m與y=g（x）有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x=2時(shí)，g′（x）=0，
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）是減函數(shù)；
所以x=2時(shí)，函數(shù)有極大值也是最大值，g（2）=e^-2，x→-∞時(shí)，g（x）→-∞，x→+∞時(shí)，g（x）→0，
從而m∈（0，e^-2）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．