Question

已知數(shù)列{a_n}滿足遞推關(guān)系式a_n=2a_n﹣1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S．

Answer 1

解：（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15 ，
可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=（a₁+1）·2^n﹣1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ﹣1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
= 
=2ⁿ⁺¹-n-2．