Question

在內(nèi)接于半徑為R的半圓的矩形中，周長最大的矩形的邊長為（　�。�

• A、

  R

  2

  和

  3

  2

  R
• B、

  5

  5

  R和

  4 5

  5

  R
• C、

  4

  5

  R和

  7

  5

  R
• D、以上都不對

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：如圖所示：矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R sin（θ+∅），矩形的周長的最大時有

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答： 解：如圖所示：設(shè)矩形ABCD，∠AOB=θ，
由題意可得矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，
故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=2

5

Rsin（θ+∅），
其中，sin∅=

2

5

，cos∅=

1

5

．故矩形的周長的最大值等于2

5

R，此時，sin（θ+∅）=1．
即

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，
故矩形的長為 2R

2

5

=

4 5

5

R，寬為

5

5

R，
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的值域，得到

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，是解題的關(guān)鍵．