Question

8．隨機詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下2×2列聯(lián)表：

	讀營養(yǎng)說明	不讀營養(yǎng)說明	合計
男	16	4	20
女	8	12	20
合計	24	16	40

（1）根據(jù)以上列聯(lián)表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”？
（2）若采用分層抽樣的方法從讀營養(yǎng)說明的學(xué)生中隨機抽取3人，則男生和女生抽取的人數(shù)分別是多少？
（3）在（2）的條件下，從中隨機抽取2人，求恰有一男一女的概率．

Answer 1

分析 （1）計算觀測值，對照表中數(shù)據(jù)做出概率統(tǒng)計；
（2）根據(jù)分層抽樣原理，得出男、女生應(yīng)抽取的人數(shù)各是多少；
（3）利用列舉法計算基本事件數(shù)以及對應(yīng)的概率．

解答 解：（1）因為${K^2}=\frac{{40{{（16×12-4×8）}^2}}}{20×20×24×16}=6.67＞6.635$，（3分）
所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，
認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”．（5分）
（2）根據(jù)分層抽樣原理，得
男生應(yīng)抽取的人數(shù)是：$\frac{16}{16+8}×3=2$（人），（6分）
女生抽取的人數(shù)是：$\frac{8}{16+8}×3=1$（人）；  （7分）
（3）由（2）知，男生抽取的人數(shù)為2人，設(shè)為a，b；
女生抽取的人數(shù)為1人，設(shè)為c；
則所有基本事件數(shù)是：（a，b），（a，c），（b，c）共3種．（9分）
其中滿足條件的基本事件是：（a，c），（b，c）共2種，（11分）
所以，恰有一男一女的概率為$P=\frac{2}{3}$．（12分）

點評 本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題目．