已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=2，a
n+1=a
n2+a
n，求證
+
+…+
＜
．
考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：將a
n+1=a
n2+a
n取倒數(shù)，后用裂項想消法化簡
+
+…+
=
-，根據(jù)題意可知數(shù)列{a
n}是正項數(shù)列．所以結(jié)論得證．
解答：
證明：∵a
n+1=a
n2+a
n，
∴
==
=
-，
∴
=-∴
+
+…+
=
-+-+…+-=
-，
又∵a
1=2，a
n+1=a
n2+a
n，
∴a
n＞0，
∴
+
+…+
=
-=
-＜
．
點評：本題考查遞推公式的應(yīng)用和裂項項消法的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知f（x）=x2+ax+3
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈（-∞，1）時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列
Sn-1=且n≥2，求數(shù)列的通項公式．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)f（x）=x
3-2x
2+2x，g（x）=a（10cosx+1）
（1）求f（sinx）的值域；
（2）若?x
1∈[-1，0]，?x
2∈[0，
]，使得f（x
1）+g（x
2）=2成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
若橢圓上存在一點P，它到橢圓中心和長軸一個端點的連線互相垂直，求橢圓離心率e的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時的解析式為f（x）=-4x+a•2x（a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）若f（x）在[0，1]上的最大值h（a），
①求h（a）的解析式；
②求滿足不等式h（a）≥1的a取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，已知A（0，0）、B（1，2）、C（m，0）、D（2，-1），則m=
．
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