Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=a，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A出發(fā)，沿周界運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿A→B→C；動(dòng)點(diǎn)Q沿A→C→B運(yùn)動(dòng)到相遇時(shí)停止，它們的速度之比是1：3，點(diǎn)P走過(guò)的路程為x，△APQ的面積為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域．

Answer 1

分析 先根據(jù)點(diǎn)Q的位置進(jìn)行分類討論，然后分別求出三角形的面積，從而可得函數(shù)f（x）的解析式，定義域．

解答 解：因?yàn)锳P=x，動(dòng)點(diǎn)Q的速度是動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，
所以AQ=3x，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，0＜x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，三角形APQ為直角三角形，S=$\frac{1}{2}$x•3x=$\frac{3}{2}$x²；
當(dāng)點(diǎn)Q在線段CB上時(shí)，$\frac{1}{3}$＜x≤1時(shí)，作出示意圖如下：

△APQ的高為 $\frac{BQ}{BC}$×AC=$\frac{3-2x}{2}$$\frac{3-2x}{2}$×1=$\frac{3-2x}{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{3-2x}{2}$=$\frac{3x-{3x}^{2}}{4}$；
當(dāng)Q在線段AB上時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
所以函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{3}{2}x}^{2}，（0＜x≤\frac{1}{3}）}\\{\frac{3x-{3x}^{2}}{4}，（\frac{1}{3}＜x≤1）}\end{array}\right.$．
函數(shù)的定義域是：（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．