Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

6

，AD=

3

，點E是棱PB的中點．
（1）求直線AD到平面PBC的距離；
（2）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
（3）求三棱錐P-ECD的體積．

Answer 1

分析：（1）易知直線AD∥平面PBC，故直線AD到平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，只需利用線面垂直的判定定理證明AE⊥平面PBC，再在三角形中計算線段AE的長即可
（2）先建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，再分別求兩個半平面：平面AEC，平面ECD的法向量，最后將求二面角問題轉(zhuǎn)化為求法向量夾角問題，利用數(shù)量積夾角公式計算即可
（3）先將求三棱錐P-ECD的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐D-PEC的體積問題，這樣，便于計算底面△PEC的面積，而椎體的高可利用（1）的結(jié)論，最后由椎體體積公式計算即可

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴BC⊥PA，∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，E是棱PB的中點，
∴PB⊥AE，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC
∴直線AD到平面PBC的距離即為線段AE的長
在直角三角形PAB中，PA=AB=

6

，
∴AE=

6

×

2

2

=

3

∴直線AD到平面PBC的距離為

3

（2）如圖建立空間直角坐標系：則A（0，0，0），E（

6

2

，0，

6

2

），C（

6

，

3

，0），D（0，

3

，0）
∴

AE

=（

6

2

，0，

6

2

），

AC

=（

6

，

3

，0），

ED

=（-

6

2

，

3

，-

6

2

）

DC

=（

6

，0，0）
設(shè)平面AEC的法向量為

a

=（x，y，z），
則

a

•

AE

=0，

a

•

AC

=0
即

6 2 x+ 6 2 z=0  6 x+ 3 y=0

，取

a

=（1，-

2

，-1）
設(shè)平面ECD的法向量為

b

=（x，y，z），
則

b

•

DC

=0，

b

•

ED

=0
即

6 x=0  - 6 2 x+ 3 y- 6 2 z=0

，取

b

=（0，1，

2

）
cos＜

a

，

b

＞=

1×0- 2 ×1-1× 2

1+2+1 0+1+2

=-

6

3

∵由圖可知二面角A-EC-D的平面角為銳角
∴二面角A-EC-D的平面角的余弦值為

6

3

（3）由（1）知直線AD到平面PBC的距離為

3

，
∴點D到平面PEC的距離為

3

∵V_P-ECD=V_D-PEC=

1

3

S△PEC×|AE|=

1

3

×

1

2

S△PBC×

3

=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

3

×2

3

×  

3

=

3

2

∴三棱錐P-ECD的體積為

3

2

點評：本題考察了直線與平面距離的求法，二面角的求法，三棱錐體積的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決本題的關(guān)鍵