Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，對(duì)于任意t∈1，2]，不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＞0恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1 ） 因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，
 所以f（0）=0 。
 ∴， 。
（2）f（x）是R上的減函數(shù)．理由如下：
任取x₁，x₂∈R，且，則
，
∵x₁＜x₂， 
 ∴， 。
 ∴，
即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是R上的減函數(shù)。
（3）若不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＞0恒成立， 
則f（t²﹣2t）＞﹣f（2t²﹣k） 。
 又f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（t²﹣2t）＞f（k﹣2t²）。
又f（x）是R上的減函數(shù)，所以t²﹣2t＜k﹣2t²對(duì)t∈[1，2]恒成立 。
 即3t²﹣2t＜k對(duì)t∈[1，2]恒成立。 
 方法一：∴k＞（3t²﹣2t）_max，t∈[1，2] ，
設(shè)時(shí)，g（t）是t的增函數(shù) ，
所以g（t）_max=g（2）=8，所以k＞8 。
方法二：g（t）=3t²﹣2t﹣k，要使3t²﹣2t﹣k＜0對(duì)t∈[1，2]恒成立 , 
 只需即可所以 ，
所以k＞8 。
綜上：存在實(shí)數(shù)k∈（8，+∞）時(shí)，對(duì)于任意t∈[1，2] 。