Question

已知F是橢圓C：的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若|PF|•|QF|=9，則|PQ|=________．

Answer 1

2
分析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），利用橢圓的第二定義可表示出|PF|，|QF|，再利用|PF|•|QF|=9，可求得m，繼而可求得n，從而可求得|PQ|．
解答：∵F是橢圓C：+=1的左焦點(diǎn)，
∴F（-3，0），離心率e==；
∵過原點(diǎn)O的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），
則Q（-m，-n）．
設(shè)P點(diǎn)在該橢圓的左準(zhǔn)線x=-=-上的射影為P′，Q點(diǎn)在該橢圓的左準(zhǔn)線x=-上的射影為Q′，
由橢圓的第二定義得：==e=，
∴|PF|=|PP′|=[m-（-）]=（m+），
同理可得，|QF|=（-m），
∵|PF|•|QF|=9，
∴（m+）•（-m）=9，
∴m²=．
∵P（m，n）為橢圓C：+=1的點(diǎn)，
∴+=1，
∴n²=，
∴|PQ|²=4m²+4n²=4×=56，
∴|PQ|=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的第二定義，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，考查運(yùn)算能力，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．