Question

已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍．

（2）求證：時，

 

Answer 1

（1）（1,2）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，找出的極值點(diǎn)，讓的極值點(diǎn)在，列出關(guān)于的不等式，從而求出的取值范圍；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出的導(dǎo)函數(shù)，可判定當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)恒大于0，所以在（1，+）上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，＞＞0，從而證明原不等式成立.

試題解析：(1)， 2分

當(dāng)時，；當(dāng)時，

故在單增，在上單減 4分

若函數(shù)在上有極值點(diǎn)

須解得

故實(shí)數(shù)的范圍是 6分

(2)證明：證法一：設(shè)，則

， 7分

求導(dǎo)化簡得， 9分

11分

在上單增，故 13分

時， 14分

證法二:令

則， 令，則

當(dāng)時，故在單增 8分

故，故在上單增，故 10分

令，則，當(dāng)時

故在上單增，故 12分

13分

時，時， 14分

考點(diǎn):常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力