Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證數(shù)列為等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，根據(jù)a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*），令n=n-1，再構(gòu)造數(shù)列{a_n+1-a_n+3}，計(jì)算，看是否為常數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所證數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是等比數(shù)列，先求出數(shù)列{a_n+1-a_n+3}的通項(xiàng)公式，再求出{a_n}的通項(xiàng)公式即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用分組法求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+3n-7
兩式相減，得，a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，即，a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3）
∴=2
∴數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，且a₁=-1，a₂=-3
∴a₂-a₁+3=1∴a_n+1-a_n+3=2^n-1，
a_n+1-a_n=2^n-1-3
∴a_n+-a_n-1=2^n-2-3
a_n-1-a_n-2=2^n-3-3
…
a₂-a₁=2-3
∴a_n+1-a₁=
∴；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴T_n．=+++…+
=+2n-3n²=
點(diǎn)評：本題主要考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及分組求和，屬于數(shù)列的常規(guī)題．