Question

10．已知點F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，A為拋物線C上的動點，點M（m，0）在x軸上
（1）若點P（0，2），A為線段PF的中點，求拋物線C的方程
（2）當0＜m＜$\frac{9p}{2}$且m≠$\frac{p}{2}$時，求證：∠MAF恒為銳角．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標，運用中點坐標公式，求得A的坐標，代入拋物線方程，可得p，進而得到拋物線方程；
（2）設(shè)A（x，y），y²=2px，（x＞0），求得向量AF，AM的坐標，求得它們的數(shù)量積，化簡整理，令f（x）=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，對m討論，①當0＜m＜$\frac{3}{2}$p時，②當$\frac{3}{2}$p＜m＜$\frac{9}{2}$p時，運用單調(diào)性和最小值大于0，即可得證．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
由點P（0，2），A為線段PF的中點，
則A（$\frac{p}{4}$，1），
代入拋物線方程可得，1=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=$\sqrt{2}$，
即有拋物線的方程為y²=2$\sqrt{2}$x；
（2）由F（$\frac{p}{2}$，0），M（m，0），
設(shè)A（x，y），y²=2px，（x＞0）
則有$\overrightarrow{AM}$=（m-x，-y），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{p}{2}$-x，-y），
即有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（x-m）（x-$\frac{p}{2}$）+y²=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，
令f（x）=x²+（$\frac{3}{2}$p-m）x+$\frac{p}{2}$m，
由于m≠$\frac{p}{2}$，則M，F(xiàn)不重合．
①當0＜m＜$\frac{3}{2}$p時，對稱軸x=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$p）＜0，
f（x）在（0，+∞）遞增，即有f（x）＞f（0）=$\frac{p}{2}$m＞0，
②當$\frac{3}{2}$p＜m＜$\frac{9}{2}$p時，f（x）的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$p）＞0，
f（x）的最小值為$\frac{p}{2}$m-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{3}{2}$p）²=$\frac{1}{16}$（20pm-4m2-9p2）
=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{p}{2}$）（m-$\frac{9}{2}$p）＞0成立．
綜上可得，當0＜m＜$\frac{9p}{2}$且m≠$\frac{p}{2}$時，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$＞0，且$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AF}$且不共線，
則有∠MAF恒為銳角．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運用，同時考查運用向量的數(shù)量積判斷夾角為銳角的方法，注意等價條件的運用，屬于中檔題和易錯題．