Question

4．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與橢圓4x²+2y²=1的一個焦點重合，直線l：y=-x+b與此拋物線交于不同的兩點B，C．
（1）求此拋物線的方程；
（2）若|BC|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點，即可求此拋物線的方程；
（2）根據韋達定理，求出|BC|，利用|BC|≤4，求b的取值范圍．

解答 解：（1）橢圓4x²+2y²=1的焦點為$（0，\;\frac{1}{2}）$，$（0，\;-\frac{1}{2}）$，由題意得$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，即p=1，
所以，該拋物線方程為x²=2y．…（2分）
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\;y=-x+b\\ \;{x^2}=2y\end{array}\right.$得x²+2x-2b=0，…（3分）
根據題意△=4+8b＞0，即$b＞-\frac{1}{2}$．①…（4分）
又x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2b，所以$|{BC}|=\sqrt{2}•|{\;{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4+8b}$，
由于|BC|≤4，所以$\sqrt{2}•\sqrt{4+8b}≤4$，解得$b≤\frac{1}{2}$，…（7分）
再結合①式得$-\frac{1}{2}＜b≤\frac{1}{2}$．…（8分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．