Question

2．已知函數(shù)f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于$\frac{π}{2}$，若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則y=g（x）是減函數(shù)的區(qū)間為（　�。�

• A． （-$\frac{π}{3}$，0）
• B． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由已知可求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則得到函數(shù)y=g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分析出函數(shù)的單調(diào)性后，比照四個(gè)答案即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
又∵函數(shù)f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于$\frac{π}{2}$=$\frac{T}{2}$，
故函數(shù)的最小正周期T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位可得y=g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=2sin2x的圖象，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z，
故函數(shù)y=g（x）的減區(qū)間為[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]為函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，
又∵（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）⊆[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)及變換法則是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．