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 已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（Ⅰ）

相切   

∴橢圓C1的方程是    …………3分

（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF2，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F2（2，0）的距離，    ∴動點M的軌跡C是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點的拋物線

∴點M的軌跡C2的方程為   …………6分

（Ⅲ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時，設(shè)直線AC的斜率為k，

，則直線AC的方程為

聯(lián)立

所以

….8分

由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得

∵，

∴四邊形ABCD的面積為……..10分

由

所以時取等號．    …………11分

易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積

綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為 …………12分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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同步練習(xí)冊答案