Question

9．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，設(shè)c為實數(shù)，對任意的三個成等差數(shù)列的不等的正整數(shù)m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，則實數(shù)c的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 ${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，可得n≥2時，S_n-S_n-1=$2\sqrt{{S}_{n}}$-1，化為：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．利用等差數(shù)列的通項公式可得S_n=n²．設(shè)c為實數(shù)，對任意的三個成等差數(shù)列的不等的正整數(shù)m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，則2k=m+n，（m+1）²+（n+1）²＞c（k+1）²，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$，∴n≥2時，S_n-S_n-1=$2\sqrt{{S}_{n}}$-1，化為：$（\sqrt{{S}_{n}}-1）^{2}$=S_n-1＞0，解得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．
n=1時，${a}_{1}=2\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得a₁=1=S₁．
∴數(shù)列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴S_n=n²．
設(shè)c為實數(shù)，對任意的三個成等差數(shù)列的不等的正整數(shù)m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k恒成立，
則2k=m+n，（m+1）²+（n+1）²＞c（k+1）²，
∵2[（m+1）²+（n+1）²]≥（m+1+n+1）²=（2k+2）²=4（k+1）²．
∴（m+1）²+（n+1）²≥2（k+1）²，
則實數(shù)c的取值范圍是c≤2．
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．