Question

已知x＞0,y＞0,求證:.

Answer 1

思路分析:本題若直接運(yùn)用綜合法,則不易發(fā)現(xiàn)與已知不等式的關(guān)系,因而可試用分析法.

證明:要證明

只需證(x²+y²)³＞(x³+y³)²,

即證x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶＞x⁶+2x³y³+y⁶,

即證3x⁴y²+3x²y⁴＞2x³y³.

∵x＞0,y＞0,∴x²y²＞0,

即證3x²+3y²＞2xy.

∵3x²+3y²＞x²+y²≥2xy,

∴3x²+3y²＞2xy成立.

故

    深化升華 該例用分析法將一個較為復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡單的不等式,從而找到使它成立的條件.當(dāng)然,該例也可以用分析綜合法證明.