Question

設(shè)b＞0，函數(shù)，記F（x）=f′（x）（f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），且當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值2．
（1）求函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）證明|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f'（x）求導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)得，然后再求F（x）的導(dǎo)數(shù)得，由F'（1）=0并結(jié)合a＞0建立關(guān)于a、b的方程組，解之即可得到a=b=1，進(jìn)而可得F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）利用二項(xiàng)式定理將不等式左邊展開合并，得|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|=，利用基本不等式證出，由此即可證出原不等式對(duì)任意的n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得．
于是，若a＜0，則F'（x）＜0，與F（x）有極小值矛盾，所以a＞0．
令F'（x）=0，并考慮到x＞0，可知僅當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值．
所以解得a=b=1．…（4分）
故，由F'（x）＞0，得x＞1，所以F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）因?yàn)閤＞0，所以記
得g（x）=
根據(jù)基本不等式，得，
∴將此式代入g（x）表達(dá)式，可得，
因此，|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出基本初等函數(shù)，在已知當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極小值2的情況下求函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間，并依此證明不等式恒成立．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二項(xiàng)式定理和不等式的證明等知識(shí)，屬于中檔題．