Question

【題目】已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離，傾斜角為α的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B。

(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)若α為銳角，作線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)m交x軸于點(diǎn)P。證明：。

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，求得，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線(xiàn)方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得線(xiàn)段中垂線(xiàn)方程，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出，由此計(jì)算出.

解：（1）由拋物線(xiàn)的定義知，

將點(diǎn)代入，得.得

∴拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為

（2）證：設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)m的交點(diǎn)為C..直線(xiàn)

由，消去x得：。

則

設(shè)線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)m的方程為：

令，得：，則點(diǎn)