Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點，以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點F₂的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，求△F₁MN的內(nèi)切圓面積的最大值和此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，可得e=

c

a

=

1

2

，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程x=my+1，和橢圓方程聯(lián)立，得到當(dāng)S△F1MN最大時，r也最大，△MF₁N的內(nèi)切圓面積也最大，利用根與系數(shù)關(guān)系把△MF₁N的面積轉(zhuǎn)化為含有m的代數(shù)式，利用基本不等式求得最值并得到直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，∴e=

c

a

=

1

2

，
∵橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
∴b=

6

2

=

3

，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，代入橢圓方程可得（3m²+4）y²+6my-9=0．
△=（6m）²+36（3m²+4）=144m²+144＞0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
∴S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

≤3（m=0時取等號），
△MF₁N的內(nèi)切圓半徑為r，則S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）r=4r，
∴r_max=

3

4

，
這時△MF₁N的內(nèi)切圓面積的最大值為

9

16

π，直線l的方程為x=1．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運算推理的能力，是壓軸題．