Question

14．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：${a_{n+k}}-{（{-1}）^k}•{a_n}={b_n}（n∈{N^*}）$．
（1）若$k=1，{a_1}=1，{b_n}={2^n}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若k=4，b_n=8，a₁=4，a₂=6，a₃=8，a₄=10．
①求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
②記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求滿足${（{{S_n}+1}）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$的所有正整數(shù)k和n的值．

Answer 1

分析 （1）當k=1時，有${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，得${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）①證明：當k=4時，有a_n+4-a_n=8（n∈N^*），n=4m（m∈N^*）時，a_4（m+1）-a_4m=8，所以{a_4m}為等差數(shù)列；同理可得：n=4m-1（m∈N^*）時，a_4（m+1）-1-a_4m-1=8，所以{a_4m-1}為等差數(shù)列；n=4m-2（m∈N^*）時，n=4m-3（m∈N^*）時，都為等差數(shù)列；可得a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
②由①知，a_n=2n+2，則${S_n}={n^2}+3n$（n∈N^*）；由${（{S_n}+1）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$，得（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²．對n，k分類討論：當n=10時，k=131；當n＞10時，則k＜n²+3n+1，因為k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，所以k＞n²+3n；不存在．n≤9時驗證即可得出．

解答 解：（1）當k=1時，有${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，得${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，
令${c_n}={a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}$，${c_1}={a_1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}≠0$，所以$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=-1$，
所以數(shù)列{c_n}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為-1的等比數(shù)列；所以${c_n}=\frac{1}{3}{（-1）^{n-1}}$，
即${a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}=\frac{1}{3}{（-1）^{n-1}}$，所以${a_n}=\frac{1}{3}•[{{2^n}+{{（-1）}^{n-1}}}]$（n∈N^*）．（4分）
（2）①證明：當k=4時，有a_n+4-a_n=8（n∈N^*），n=4m（m∈N^*）時，a_4（m+1）-a_4m=8，所以{a_4m}為等差數(shù)列；a_4m=10+8（m-1）=8m+2（m∈N^*）；n=4m-1（m∈N^*）時，a_4（m+1）-1-a_4m-1=8，所以{a_4m-1}為等差數(shù)列；a_4m-1=8+8（m-1）=8m（m∈N^*）；n=4m-2（m∈N^*）時，a_4（m+1）-2-a_4m-2=8，所以{a_4m-2}為等差數(shù)列；a_4m-2=6+8（m-1）=8m-2（m∈N^*）；n=4m-3（m∈N^*）時，a_4（m+1）-3-a_4m-3=8，所以{a_4m-3}為等差數(shù)列；a_4m-3=4+8（m-1）=8m-4（m∈N^*）；
所以a_n=2n+2（n∈N^*），a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．（10分）
②由①知，a_n=2n+2，則${S_n}={n^2}+3n$（n∈N^*）；
由${（{S_n}+1）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$，得（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²；
當n=10時，k=131；
當n＞10時，則k＜n²+3n+1，因為k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，所以k＞n²+3n；
從而n²+3n＜k＜n²+3n+1，因為k和n為正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)k；
當n＜10時，則k＞n²+3n+1，因為k為正整數(shù)，所以k≥n²+3n+2，
從而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²，即2n²+9n-27≤0，
因為n為正整數(shù)，所以n=1或n=2；
當n=1時，k²=52，k不是正整數(shù)；當n=2時，k²=145，k不是正整數(shù)；
綜上，滿足題意的所有正整數(shù)k和n分別為n=10，k=131．（16分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．