Question

【題目】已知函數：

(I)當時，求的最小值；

(II)對于任意的都存在唯一的使得，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，見解析（II）

【解析】

(I)求導后,通過對的討論,得到函數的單調性,根據單調性可得最小值;

(II)對于任意的都存在唯一的使得,得的值域是的值域的子集,求出兩個函數的值域后列式可求得.，注意的唯一性滿足

解：（I）

時，遞增，,

時，遞減，

時，時遞減，

時遞增，

所以

綜上，當；

當

當

（II）因為對于任意的都存在唯一的使得成立,

所以的值域是的值域的子集.

因為

遞增，的值域為

（i）當時，在上單調遞增，

又，

所以在[1,e]上的值域為,

所以

即

（ii）當時，因為時，遞減，時，遞增，且，

所以只需

即，所以

（iii）當時，因為在上單調遞減，且，

所以不合題意.

綜合以上，實數的取值范圍是.