Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）當a=-1時，求曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（2）當0≤a≤1時，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，再求出f'（2）的值，也就是切線的斜率，問題得以解決．
（2）分①a=0時，②0＜a＜

1

2

時，③a=

1

2

時，④

1

2

＜a＜1時，⑤a=1時進行討論．

解答： 解：（1）當a=-1時y=lnx+x+

2

x

-1(x＞0)，
∴y′=

1

x

+1-

2

x2

，
∵f'（2）=1，
∴切線方程：y=x+ln2，
（2）y′=-

(x-1)(ax+a-1)

x2

（x＞0）
①a=0時，f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；
②0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，1）單調遞減，(1，

1-a

a

)單調遞增，在(

1-a

a

，+∞)單調遞減；
③a=

1

2

時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；
④

1

2

＜a＜1時，f（x）在(0，

1-a

a

)單調遞減，在(

1-a

a

，1)單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
⑤a=1時，f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；

點評：本題主要考查了導數(shù)與切線方程的問題以及函數(shù)的單調性的問題，關鍵是分類討論的問題．屬于較基礎題．