Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則數(shù)列{a_n}的前60項和為______．

Answer 1

∵數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²a_n-1，兩式相減得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

結(jié)合a₁=

1

2

，可得a_n=

1

n(n+1)

當n=1時，也滿足上式，故a_n=

1

n(n+1)

對任意n∈N₊成立，
可得a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
因此，數(shù)列數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴{a_n}的前60項和為

60

61

故答案為：

60

61