Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）當(dāng)n∈N^*時，證明＞2ln（n+1）；
（3）（理） 當(dāng)n≥2且n∈N₊時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需f′（x）≥0在定義域恒成立，從而可求出p的值；
（2）利用分析法，欲證＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*），再分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加可得結(jié)論；
（3）先證＞ln（1+），從而可得＞lnk-ln（k-1），再分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，可得結(jié)論．
解答：（1）解：p＞0，函數(shù)f（x）的定義域為[1，+∞）．
f′（x）=-
依題意，f′（x）≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
∴p≥在x∈（1，+∞）恒成立．
∵=4[-（-）²+]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）；
（2）證明：當(dāng)n∈N^*時，欲證＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
由（Ⅰ）可知：取p=1，則f（x）≥f（1）（x≥1），
而f（1）=0，∴≥lnx（當(dāng)x=1時，等號成立）．
用（）2代換x，得＞ln（）2（x＞0），
即＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0），
∴＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
在上式中分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加，得＞2ln（n+1），
∴結(jié)論成立；
（3）解：由（2）知，≥lnx（當(dāng)x=1時，等號成立）．
而當(dāng)x≥2時，x-1≥，∴當(dāng)x≥2時，x-1＞lnx
設(shè)g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），則g′（x）=1-=，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，2）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）時恒成立．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時，x-1≥lnx（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）．…①
用x代換x-1得：x≥ln（1+x）（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立）．…②
當(dāng)k≥2，k∈N^*時，由①得k-1＞lnk＞0，∴＞
當(dāng)k≥2，k∈N^*時，由②得k＞ln（1+k），用代換k，得＞ln（1+）．
∴當(dāng)k≥2，k∈N^*時，＞ln（1+），即＞lnk-ln（k-1）．
在上式中分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，得＞lnn-ln1．
故當(dāng)n≥2且n∈N^*時，．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題．