Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）試證：對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若過點P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲線y=f（x）的三條切線，試求點P對應平面區(qū)域的面積．

Answer 1

（I）由題意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即

3+2b+c=0 3-2b+c=0

，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x³-3x；
（II）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）設切點為M（x₀，y₀），
則點M的坐標滿足y₀=x₀³-3x₀．
因f′（x₀）=3（x₀²-1），
故切線l的方程為：y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（m-x₀）
整理得2x₀³-3mx₀²+3m+n=0．
∵若過點P（m，n）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴關于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三個實根．
設g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n，
則g′（x₀）=6x₀²-6mx₀=6x₀（x₀-m），
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=m．
由對稱性，先考慮m＞0
∵g（x₀）在（-∞，0），（m，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，m）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n的極值點為x₀=0，或x₀=m
∴關于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三個實根的充要條件是

g(0)＞0 g(m)＜0

，
解得-3m＜n＜m³-3m．
故0＜m＜2時，點P對應平面區(qū)域的面積
S=

∫

20

(m3-3m)-(-3m)dm=

∫

20

m3dm=

1

4

m4

|

20

=4
故|m|＜2時，所求點P對應平面區(qū)域的面積為2S，即8．