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已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和,且a、b為△ABC的兩邊,A、B為a、b的對角,試判斷△ABC的形狀.

思路點(diǎn)撥:要判斷三角形的形狀,就要根據(jù)條件得出三角形中的邊的關(guān)系或角的關(guān)系,由題意先得到邊角的關(guān)系式,然后再跟據(jù)正、余弦定理來判斷.

解:設(shè)方程的兩根為x1、x2,

由韋達(dá)定理得x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,

由題意得bcosA=acosB,

由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinBcosA-sinAcosB=0,

即sin(A-B)=0.

在△ABC中,∵A、B為其內(nèi)角,

∴-π＜A-B＜π.

∴A-B=0.∴△ABC為等腰三角形.

也可以利用余弦定理來判斷.

[一通百通]在判斷三角形形狀的題目中,一般有兩個(gè)方向考慮問題:一是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,二是利用余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊來處理.在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系時(shí),有時(shí)要判斷角的范圍.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓x2+y2=1，點(diǎn)A（1，0），△ABC內(nèi)接于圓，且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運(yùn)動時(shí)，BC中點(diǎn)的軌跡方程是（　�。�
A、x2+y2=
1
2
B、x2+y2=
1
4
C、x2+y2=
1
2
（x＜
1
2
）
D、x2+y2=
1
4
（x＜
1
4
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓x2+y2=25，△ABC內(nèi)接于此圓，A點(diǎn)的坐標(biāo)（3，4），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若△ABC的重心是G(
53
，2)，求直線BC的方程；（三角形重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，并且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍）
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線BC的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，過F任作直線l（l與x軸不平行）交拋物線分別于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為C，
（1）求證：直線BC與y軸交點(diǎn)D必為定點(diǎn)；
（2）過A，B分別作拋物線的切線，兩條切線交于E，求
|AB|
|DE|
的最小值，并求當(dāng)
|AB|
|DE|
取最小值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知半圓x2+y2=4（y≥0），動圓與此半圓相切且與x軸相切．
（1）求動圓圓心的軌跡，并畫出其軌跡圖形．
（2）是否存在斜率為
13
的直線l，它與（1）中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A、B、C、D四點(diǎn)，且滿足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•棗莊二模）已知拋物線x2=2py上點(diǎn)（2，2）處的切線經(jīng)過橢圓E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的上頂點(diǎn)A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點(diǎn)．請問：是否存在一點(diǎn)D，使得直線BC恒過該點(diǎn)？若存在，請求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡方程．

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同步練習(xí)冊答案