Question

平面內(nèi)一動點P到點F（2，0）的距離比它到直線x+3=0的距離少1
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點F（2，0）作一條傾斜角為α的直線，交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，線段AB的中點是M，直線OM的斜率k_OM=f（α），求k_OM=f（α）的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線定義可判斷曲線為拋物線，從而可知p=2，得到方程；
（2）設(shè)直線AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，利用韋達定理、中點坐標(biāo)公式可表示M坐標(biāo)，進而表示k_OM=f（α），分m=0，m＞0，m＜0三種情況討論，然后運用基本不等式可求斜率范圍；

解答： 解：（1）由題意知動點P的軌跡是以F為焦點、x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動點P的軌跡方程是y²=8x；
（2）設(shè)直線AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，
則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=8m²+4，
∴M（4m²+2，4m），
∴k_OM=f（α）=

4m

4m2+2

=

2m

2m2+1

，
當(dāng)m=0時，k_OM=0；
當(dāng)m＞0時，0＜k_OM=

2

2m+ 1 m

≤

2

2 2m• 1 m

=

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

2

2

時取等號；
當(dāng)m＜0時，0＞k_OM=

2

2m+ 1 m

=

-2

-2m- 1 m

≥

-2

2 -2m• 1 -m

=-

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)=-

2

2

時取等號；
綜上所述，k_OM=f（α）的取值范圍是[-

2

2

，

2

2

]．

點評：該題考查拋物線的定義、方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率公式、基本不等式等知識，考查分類討論思想．