Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形, 兩準(zhǔn)線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)P(0, 2)且與橢圓相交于A.、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí), 求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）所求直線方程為

【解析】

試題分析：解： (Ⅰ) 設(shè)橢圓方程為     （ 1 分）

由已知得  （  3 分）

∴.   所求橢圓方程為.   （ 4 分）

(Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在, 設(shè)直線的方程為, ,           （ 5 分）

由，消去得關(guān)于的方程:

, （ 7 分）

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),

∴

解得.                    （  8 分）

又由韋達(dá)定理得    （  9 分）

∴

原點(diǎn)O到直線的距離為 （ 10 分）

∴ （ 11 分）

對(duì)兩邊平方整理得:

∵,

∴

整理得:,

又, ∴.

從而的最大值為, （ 12 分）

此時(shí)代入方程(*)得

∴ ,

所以, 所求直線方程為. （13 分）

解法二: 令,

則

∴ , （ 12 分）

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí), ,

此時(shí),

所以, 所求直線方程為. （ 13 分）

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系的研究，采用聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)得到，屬于基礎(chǔ)題。