Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分別是A₁C₁、BC的中點(diǎn)， (1)證明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
(2)證明：C₁F∥平面ABE；
(3)設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐P-B₁C₁F的體積。

Answer 1

(1)證明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°， ∴，∴， ∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1， ∴AB⊥面BB1C1C， 又∵AB面ABE， ∴面ABE⊥面BB1C1C． (2)證明：取AC的中點(diǎn)M，連接C1M，F(xiàn)M， 在△ABC中，易得FM∥AB， ∴直線FM∥面ABE， 在矩形ACC1A1中，E、M都是中點(diǎn)， ∴C1M∥AE， ∴直線C1M∥面ABE， 又∵C1M∩FM =M， ∴面ABE∥面FMC1， 故C1F∥面AEB。 (3)解：連接EM、BM，取BM的中點(diǎn)O，連接PO，則PO∥BB1， ∴點(diǎn)P到面BB1C1C的距離等于點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離， 過(guò)O作OH∥AB交BC于H，則OH⊥面BB1C1C， 在等邊△BCM中，連接OC，可知CO⊥BM， ∴BO=1，在Rt△BOC中，可得， ∴。