Question

20．函數f（x）=-x²+3x+a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≥0對x∈[0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 先求導判斷內函數g（x）的單調性，再參數分離，利用二次函數的單調性可得結論．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，則g′（x）=2^xln2-2x，
g″（x）=（ln2）²•2^x-2＜0，從而g′（x）在[0，1]上單調遞減，
設g′（x₀）=0，則函數在[0，x₀]上單調遞增，在[x₀，1]上單調遞減，
∴t=g（x）在x∈[0，1]上的值域為[1，g（x₀）]，其中g（x₀）=${2}^{{x}_{0}}$-${x}_{0}^{2}$＜2，
則問題轉化為a≥t²-3t在[1，g（x₀）]上恒成立，
∵y=t²-3t在（0，$\frac{3}{2}$）上單調遞減，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上單調遞增，
∴y=t²-3t在[1，g（x₀）]上的最大值為1-3=-2，
∴a≥-2．
故答案為：[-2，+∞）．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查不等式恒成立問題，注意解題方法的積累，屬于難題．