Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若，．

（1）求；

（2）若數(shù)列{Mn}滿足條件： ，當(dāng)時(shí)，－，其中數(shù)列單調(diào)遞增，且，．

①試找出一組，，使得；

②證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．

Answer 1

（1）（2）①， ②詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，一般利用待定系數(shù)法，即確定首項(xiàng)及公差，再代入公式即可：由，，得解得，所以（2）①題目要求找出一組，因此方法為逐一代入驗(yàn)證，若由得，則無(wú)整數(shù)解；若由得，則無(wú)整數(shù)解；若解得②從①可歸納，，，則，，，一般的取，下面只需驗(yàn)證使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．由得＝－＝，為一整數(shù)平方．

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，

由，，得， 2分

解得，

所以 4分

（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806034830871775/SYS201506180603539808354304_DA/SYS201506180603539808354304_DA.034.png">，

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806034830871775/SYS201506180603539808354304_DA/SYS201506180603539808354304_DA.010.png">，

所以，，此方程無(wú)整數(shù)解； 6分

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806034830871775/SYS201506180603539808354304_DA/SYS201506180603539808354304_DA.010.png">，

所以，，此方程無(wú)整數(shù)解； 8分

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806034830871775/SYS201506180603539808354304_DA/SYS201506180603539808354304_DA.010.png">，

所以，，解得，

所以，滿足題意 10分

②由①知，，，則，，，

一般的取， 13分

此時(shí)，，

則＝－＝，

所以為一整數(shù)平方．

因此存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列