Question

【題目】已知動點到定點的距離比到軸的距離多.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設(shè)，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析，定點

【解析】

（1）設(shè)，由題意可知，對的正負(fù)分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；

（2）設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．

（1）設(shè)，

動點到定點的距離比到軸的距離多，

，時，解得，

時，解得.

動點的軌跡的方程為或

（2）證明：如圖，設(shè)，，

由題意得（否則）且，

所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

將與聯(lián)立消去，得，

由韋達(dá)定理知，，①

顯然，，

，，

將①式代入上式整理化簡可得：，

所以，

此時，直線的方程可表示為，

即，

所以直線恒過定點.