Question

已知函數f（x）=x|m-x|，若m＜0，判斷其零點個數，并寫出其單調性若f（4）=0，作出函數圖象，并求集合M={n|使方程f（x）=n有三個不相等的實根}．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意，函數f（x）=x|m-x|的零點個數即方程x|m-x|=0的解的個數，由圖象寫出單調區(qū)間，由f（4）=0可得m=4，從而作函數的圖象及解集合．

解答： 解：函數f（x）=x|m-x|的零點個數即方程x|m-x|=0的解的個數，
∵m＜0，
∴方程x|m-x|=0的解為x=0或x=m；
故函數f（x）=x|m-x|有兩個零點；
其在（-∞，m），（

m

2

，0）上是增函數，
在（m，

m

2

），（0，+∞）上是減函數；
由f（4）=0，得，m=4，
故f（x）=x|4-x|，
其圖象如下，

則由圖象可知，
M={n|使方程f（x）=n有三個不相等的實根}=（0，4）．

點評：本題綜合考查了絕對值函數的應用，屬于中檔題．