Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（2+x），g（x）=ln（2-x）
（1）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的定義域；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值范圍．
（3）判斷函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)y=f（x）-g（x）的定義域；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求使f（x）≥g（x）成立的x的取值范圍．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=ln（2+x）-ln（2-x），
要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{2+x＞0}\end{array}\right.$…（3分），
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{x＞-2}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2，即函數(shù)的定義域為（-2，2）．
（2）若f（x）≥g（x），
則ln（2+x）≥ln（2-x）
由（1）且2+x≥2-x得{x|0≤x＜2}…（6分）
（3）G（x）定義域為{x|-2＜x＜2}有關(guān)于原點對稱…（7分）
G（-x）=f（-x）-g（-x）=$ln（2-x）-ln（2+x）=ln\frac{2-x}{2+x}=ln{（\frac{2+x}{2-x}）^{-1}}=-ln\frac{2+x}{2-x}=-G（x）$
所以G（x）為奇函數(shù)…．（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)定義域以及函數(shù)奇偶性的判斷，利用函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．