Question

1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若點M在線段AP的延長線上且P為MA的中點，PA=1，AD=2，求二面角
    B-ED-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題設條件及圖知，可先由線面垂直的性質證出PA⊥BD與PC⊥BD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
（2）先找出ABCD為正方形，得到AB=AD=2，以A點為原點，AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，求出平面BED、平面MDE的法向量，從而求出二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
（2）解：由（1）可知BD⊥平面PAC，而AC?平面PAC，
∴BD⊥AC，而ABCD為矩形，
∴ABCD為正方形，∴AB=AD=2，
以A點為原點，AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A-BDP，
如圖示：

則M（0，0，2）、D（0，2，0）、C（2，2，0），
平面BED的一個法向量為${\overrightarrow{n}}_{2}$=$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-1），$\overrightarrow{MD}$=（0，2，-2），
設$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+λ$\overrightarrow{CP}$=（2-2λ，-2λ，λ），$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
λ=$\frac{4}{9}$，$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{10}{9}$，-$\frac{8}{9}$，$\frac{4}{9}$），
設平面MDE的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$={x，y，z}，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{MD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{9}x-\frac{8}{9}y+\frac{4}{9}z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
令z=5，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，5，5），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{9}{3×3\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角 B-ED-M的余弦值為：-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法及線面垂直的判定定理與性質定理，屬于立體幾何中的基本題型，作出坐標系通過法向量求二面角的平面角是常用的方法．