Question

20．如圖，三棱錐P-ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，設PD=x，∠BPC=θ，記函數f（x）=tanθ，則下列表述正確的是（　�。�

• A． f（x）是關于x的增函數
• B． f（x）是關于x的減函數
• C． f（x）關于x先遞增后遞減
• D． 關于x先遞減后遞增

Answer 1

分析 由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到關于x的解析式，進一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判斷選項．

解答 解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，
∴可求得：AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，PC=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，BP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=$\frac{P{B}^{2}+P{C}^{2}-B{C}^{2}}{2BP•PC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{2}+1}\sqrt{{x}^{2}+4}}$
∴tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$-1=$\frac{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}+4）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$-1=$\frac{{x}^{2}}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，
∴tanθ=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{2}{x}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（當且僅當x=$\sqrt{2}$時取等號）；
所以f（x）關于x先遞增后遞減．
故選：C．

點評 本題主要考查點、線、面的位置關系．直線與平面垂直的性質，余弦定理的應用，基本不等式的應用，屬于中檔題．