Question

20．已知函數f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）如果f（x）≤0，在（0，4]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，分別計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅲ）問題轉化為a≥$\frac{lnx}{x}$在（0，4]恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故f（1）=-1，f′（1）=0，
故切線方程是：y+1=0，即y=-1；
（ II）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，（x＞0）
①當a≤0時，由于x＞0，得：1-ax＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），
②當a＞0時，f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0，
在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），
單調遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；                     
（ III）如果f（x）≤0在（0，4]上恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$在（0，4]恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（0，4]，
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令h′（x）＜0，解得：e＜x≤4，
故h（x）在（0，e）遞增，在（e，4]遞減，
故h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$，
故a≥$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．