Question

16．已知實數(shù)x，y，z滿足x＞y＞z，且x=z+1，則$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由條件可得x-z=1，即x-y+y-z=1，即有$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•1=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•（x-y+y-z），展開，運用基本不等式，即可計算得到最小值．

解答 解：∵x=z+1，
∴x-z=1，
∴$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•1=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•（x-z）
令x-y=m（m＞0），y-z=n（n＞0）
∴x-z=m+n=1，
∴原式=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{m+n}{m}$+$\frac{4（m+n）}{n}$
=1+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$+4≥2$\sqrt{4}$+5=9，
當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即n=2m=$\frac{2}{3}$，取得最小值．
故答案為：9．

點評 本題考查基本不等式的運用，注意運用乘1法，考查運算能力，屬于中檔題．