Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$=1，a₅和a₇的等差中項(xiàng)為13
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出d和a₁，即可求出a_n及S_n；
（2）由（1）化簡b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$=1，a₅和a₇的等差中項(xiàng)為13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}_{1}+3d}{3}-\frac{2{a}_{1}+d}{2}=1}\\{{a}_{1}+5d=13}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+2n；
（2）由（1）得，b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{4}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．