Question

（本小題滿分14分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，且構(gòu)成等比數(shù)列；

（1）證明：；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）證明：對一切正整數(shù)，有.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由得當(dāng)時，，即故；（2）當(dāng)時，由得故，且即從而，∴；（3）由（1）（2）可得

，利用裂項相消求和法得得證.

試題解析：（1）證明：因為，令，則，即，所以； 2分

（2）當(dāng)時，，

所以，因為各項均為正數(shù)，所以； 5分

因為構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，

解得，因為，所以， ，符合，所以對也符合， 7分

所以數(shù)列是一個以為首項，為公差的等差數(shù)列，

所以； 9分

因為， 10分

所以

；

所以對一切正整數(shù)，有. 14分

考點：數(shù)列求通項公式、n項和公式及數(shù)列的綜合問題