Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx（a≠0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（3）求證：lnn＞+++…+（n∈N﹡，且n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用f'（x）＞0求單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0求單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1時，利用（1）的結(jié)論，可知f（x）在[，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，最值可求．
（3）當(dāng)a=1時，由（1）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x＞1時f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-，采用累積的方法證明．
解答：解（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=-=
當(dāng)a＜0，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)0＜a時，解f'（x）＞0，得x＞，
解f'（x）＞0，得0＜x＜，
所以當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)0＜a時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）
（2）當(dāng)a=1時，f′（x）=，由（1）知f（x）在[，1）上單調(diào)遞增
，在（1，2）上單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（1）=0
又f（）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（）＞f（2），所以f（x）max=f（）=1-ln2，
綜上所述，f（x）在[，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當(dāng)a=1時，由（1）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x＞1時f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-
所以n≥2時，，
∴，，…，
以上各式相加可得…＞+
即＞+
即lnn＞+++…+（n∈N﹡，且n≥2）．
所以原不等式成立．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題，函數(shù)的定義域思想，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的思想，同時考查了學(xué)生的計(jì)算能力．