Question

如圖，在正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)，求證：

(1)E、C、D₁、F四點(diǎn)共面；

(2)CE、D₁F、DA三線共點(diǎn).

Answer 1

證明：(1)分別連結(jié)EF、A₁B、D₁C，

∵E、F分別是AB和AA₁的中點(diǎn)，

∴EF∥A₁B且EF=A₁B.

又∵A₁D₁

B₁C₁BC,∴四邊形A₁D₁CB是平行四邊形.∴A₁B∥CD₁.從而EF∥CD.

由公理2的推論3，EF與CD₁確定一個(gè)平面.

∴E、F、D₁、C四點(diǎn)共面.

(2)∵EFCD₁,∴直線D₁F和CE必相交.設(shè)D₁F∩CE=P，∵D₁F平面AA₁D₁D，P∈D₁F,∴P∈平面AA₁D₁D.

又CE平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA₁D₁D的公共點(diǎn).而平面ABCD∩平面AA₁D₁D=AD，

∴P∈AD(公理3).∴CE、D₁F、DA三線共點(diǎn).