Question

已知函數(shù)f（x）=x³對應(yīng)的曲線在點(diǎn)（a_k，f（a_k））（k∈N^*）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（a_k+1，0），若a₁=1，則

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，再令y=0，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=

2

3

的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：由f'（x）=3x²得曲線的切線的斜率k=3

a

2 k

，
故切線方程為y-

a

3 k

=3

a

2 k

(x-ak)，
令y=0得ak+1=

2

3

ak⇒

ak+1

ak

=

2

3

，
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=

2

3

的等比數(shù)列，
又f(

3	a1

)+f(

3	a2

)+…+f(

3	a10

)=a1+a2+…+a10=

a1(1-q10)

1-q

=3(1-q10)，
所以

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查等比數(shù)列的定義和求和公式，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求得切線方程是解題的關(guān)鍵．