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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在△ABC中，設
AB
與
BC
的夾角為θ，已知
AB
•
BC
=6，且2
3
≤|
AB
||
BC
|sin（π-θ）≤6．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數f（θ）=
1-
2
cos(2θ-
π
4
)
sinθ
的最大值．
考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,三角函數的最值
專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用
分析：（1）首先根據向量的數量積與已知條件求出向量的夾角范圍．
（2）進一步對三角函數的關系式進行恒等變形，利用夾角的范圍求出三角函數關系式的最值．
解答： 解：（1）∵
AB
•
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6，①
2
3
≤|
AB
||
BC
|sinθ≤6，②
由
②
①
得，
3
3
≤tanθ≤1，
∵θ為
AB
與
BC
的夾角，
∴θ∈[
π
6
，
π
4
]；
（2）f(θ)=
1-(cos2θ+sin2θ)
sinθ

=
2sin2θ-2sinθcosθ
sinθ

=2(sinθ-cosθ)=2
2
sin(θ-
π
4
)，
由于f(θ)=2
2
sin(θ-
π
4
)在θ∈[
π
6
，
π
4
]內是增函數，
∴f（θ）max=0（當且僅當θ=
π
4
時等號成立）．
點評：本題考查的知識要點：向量的數量積的應用，向量的夾角的求法，三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的最值問題，屬于基礎題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x2+mx-2m-3
（1）若函數在區(qū)間（-∞，0）與（1，+∞）內各有一個零點，求實數m的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（
1
2
，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A、B是銳角三角形的兩個內角，則直線xsinA-ycosB=0的傾斜角（　�。�
A、大于135°
B、大于90°且小于135°
C、大于45°且小于90°
D、小于45°

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科目：高中數學 來源： 題型：

f（x）=
lnx
x
，a＞b＞e，則f（a）與f（b）大小關系為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

化簡：sin（2nπ-
2π
3
）•cos（2nπ+
4π
3
）（n∈Z）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為（　　）
A、
10
10
B、
10
3
C、
30
10
D、
5
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
OA
，
OB
是兩個單位向量，且
OA
•
OB
=0．若點C在∠AOB內，且∠AOC=30°，
OC
=m
OA
+n
OB
（m，n∈R），則
m
n
=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin（x-
π
4
）sin（x+
π
4
）圖象的對稱軸方程是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x2+ax+2．
（1）若x∈[-5，5]時，函數f（x）是單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）記函數f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

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