Question

甲、乙兩地相距s km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v( km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v( km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

解：(1)依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為，全程運(yùn)輸成本為

y＝a·＋bv²·＝s(＋bv)，故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?I>y＝s(+bv)，v∈(0，c］.

(2)依題意，知s、a、b、v都為正數(shù)，故有s(＋bv)≥2s，當(dāng)且僅當(dāng)＝bv，

即v＝時，上式中等號成立.

若≤c，則當(dāng)v＝時，全程運(yùn)輸成本y最小.

若＞c，當(dāng)v∈(0，c］時，有

s(＋bv)－s(＋bc)＝s·［a()＋b(v－c)］＝(c－v)(a－bcv).

因?yàn)?I>c－v≥0，且a＞bc²，故a－bcv＞a－bc²＞0.

所以s(＋bv)≥s(＋bc)，當(dāng)且僅當(dāng)v＝c時等號成立，也即v＝c時，全程運(yùn)輸成本y最小.

綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時，行駛速度應(yīng)為v＝；當(dāng)＞c時，行駛速度應(yīng)為v＝c.

點(diǎn)評：(1)抓住基本關(guān)系：全程成本=每小時成本×?xí)r間，成本＝可變成本＋固定成本，求最值時要注意變量的定義域.

(2)函數(shù)y=ax+(a、b∈R⁺)的圖象如下圖所示.