Question

已知雙曲線C的對稱軸是坐標軸，一條漸近線的方程是，且該雙曲線C經過定點M（3,2）

（1）求雙曲線C的方程；

（2）直線l：ax－y－1=0與雙曲線C交于P、Q兩點，當實數a為何值時，|PQ|=2?

Answer 1

解：（1）設所求雙曲線C的方程為，將點M的坐標（3,2）代入得＝1,

所以雙曲線C的方程是   

（2）設P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)，由,

得  (1－2a²)x²+4ax－3=0．

若1－2a²=0,即a=±時，l與C的漸近線平行，l與C只有一個交點，與題意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,

∴－＜a＜．                

  (*)

∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2．

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4．

∴(－)²－4=4．

∴a=±1∈(－,)．

∴所求的實數a的值為a=±1．